不定积分分部积分法（Integration by Parts）是一种用于计算不定积分的方法，它主要适用于两种情况：
1. 被积函数是乘积的形式，且其中一个因式易于积分。
2. 被积函数是一元多项式的商，且分母易于积分。
使用分部积分法的技巧如下：
1. 确定被积函数是否符合分部积分法的条件。如果符合，找出易于积分的因式或分母。
2. 分部积分公式：∫u dv = uv - ∫v du。选择适当的u和v，使得u易于积分，而v的积分比较简单。
3. 应用分部积分公式，将原不定积分转化为另一个不定积分和一个易于计算的项。
4. 对新的不定积分重复使用分部积分法，直到所有的不定积分都能用基本的积分公式求解。
5. 累积所有易于计算的项，得到原不定积分的解答。
要求不定积分 ∫(e^x * sin^2(x)) dx，我们可以使用三角恒等式 sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 来简化问题。
首先，将 sin^2(x) 替换为 (1 - cos(2x))/2：
∫(e^x * sin^2(x)) dx = ∫(e^x * (1 - cos(2x))/2) dx
然后，将积分拆分为两部分：
= 1/2 * (∫(e^x) dx - ∫(e^x * cos(2x)) dx)
对于第一部分 ∫(e^x) dx，其结果是 e^x。
对于第二部分 ∫(e^x * cos(2x)) dx，我们可以使用积分乘法公式，令 u = e^x, dv = cos(2x) dx，则 du = e^x dx, v = sin(2x)/2。
应用乘法公式：
∫(u * dv) = u * v - ∫(v * du)
= e^x * sin(2x)/2 - ∫(sin(2x)/2 * e^x dx)
对于 ∫(sin(2x)/2 * e^x dx)，再次使用乘法公式，令 u' = sin(2x)/2, dv' = e^x dx，则 du' = cos(2x) dx, v' = e^x。
应用乘法公式：
∫(u' * dv') = u' * v' - ∫(v' * du')
= (sin(2x)/2) * e^x - ∫(e^x * cos(2x) dx)
注意，∫(e^x * cos(2x) dx) 是我们之前已经遇到过的积分，所以我们可以将其替换为之前得到的结果。
将上述所有部分组合起来，我们得到：
∫(e^x * sin^2(x)) dx = 1/2 * (e^x - (e^x * sin(2x)/2 - (sin(2x)/2 * e^x - ∫(e^x * cos(2x) dx)))
由于 ∫(e^x * cos(2x) dx) 在此上下文中没有简单的封闭形式解，我们可以将其表示为另一个积分，或者在某些情况下，使用数值方法或级数展开来近似求解。
因此，不定积分 ∫(e^x * sin^2(x)) dx 的解可以表示为包含另一个积分的表达式，或者根据具体需求使用其他方法近似求解。
存在的条件主要包括以下两个方面：
1.原函数存在：如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，那么f(x)在I上的不定积分存在。
2.可积性条件：通常情况下，如果函数f(x)在区间I上满足以下条件之一，那么它在I上是可积的，从而其不定积分存在。
- 有限个间断点：函数f(x)在区间I上只有有限个间断点。
- 有界：函数f(x)在区间I上是有界的。
需要注意的是，这些条件并不是充分必要条件，有些函数可能在某些特定条件下存在不定积分，但不一定满足以上条件。